Les interférences sont un phénomène optique causé par la superposition d'ondes.
Les interférences sont la figures que l'on observe lors d'expérience du type "fente d'Young"

Superposition d'ondes

Moyennage temporel d'une superposition d'onde

Soit 2 ondes monochromatiques (Ondes sinusoïdales - monochromatiques):
$$\vec E_1=E_1e^{-i\omega_1 t}\qquad \vec E_2=E_2e^{-i\omega_2t}$$
Alors, le moyenne temporel de cette superposition est:
$$|E|^2=|E_1|^2+|E_2|^2 + E_1E_2^*e^{-i\left(\omega_1-\omega_2\right)t}+E_1^*E_2e^{-i\left(\omega_1-\omega_2\right)t}$$
Donc, l'intensité dans la condition d'interférence \(\omega_1=\omega_2\) est:
$$I={{I_1+I_2+2\sqrt{I_1I_2}\cos(\phi_2(t)-\phi_1(t))}}$$

Conditions d'observation

Conditions d'observation d'une figure d'interférence

1. Même fréquence
2. Sources cohérentes

Cela veut dire que les intensités ne dépendent pas du temps

1. Sources synchrones

Visibilité

Définition de la visibilité

On définit la visibilité d'une figure d'interférence comme:
$$V={{\frac{I_{max} -I_{min} }{I_{max}+I_{min} } }}$$
Avec:

• \(I_{max}={{(\sqrt {I_1}+\sqrt{I_2})^2}}\)
• \(I_{min}={{(\sqrt {I_1}-\sqrt{I_2})^2}}\)

START
Exo-Démo+
Calculer l'intensité de deux ondes planes monochromatiques dans un milieu homogène
Soit 2 ondes de même amplitude \(E_0\) avec:

• \(\omega_1=\omega_2=\omega\)
• \(k_1=k_2=\frac{\omega}{c}\)
• \(\lambda=\frac{2\pi}{k_0}\)

1i: Conditions d'interférences sur nos ondes
2: \(I=2I_0\left[1+\cos(\phi_1-\phi_2)\right]\)
3: \(\vec k_1=k\left[-\alpha \vec e_x+\gamma \vec e_z\right]\)
\(\vec k_2=k\left[\alpha \vec e_x+\gamma \vec e_z\right]\)
4: \(\phi_1=-k\alpha x +k\gamma z+\phi_1^0\)
\(\phi_2=k\alpha x+k\gamma z+\phi_2^0\)
\(\implies \phi_2-\phi_1= 2k\alpha x+\phi_2^0-\phi_1^0\)
5:
$$I=2I_0\left[1+\cos(2k\alpha x+\phi_1^0-\phi_2^0)\right]$$
END

Définition de l'interfrange

L'interfrange est la différence entre deux franges successives tel que:
Maximum d'intensité lorsque: \(2k\alpha i=2\pi\)
$$i={{\frac{\lambda}{2\alpha} }}$$

Fentes d'Young

Définitions

Définition division du front d'onde

La division du front d'onde signifie qu'à partir d'une seule et même onde, on prend deux morceaux de celle-ci.
START
Exo-Démo+
Retrouver l'expression de la différence de marche lors de l'expérience des fentes d'Young. Puis déterminer l'intensité pour tout point sur l'écran.
Disposition:

• Distance entre les 2 fentes \(S_1\) et \(S_2\) : \(a\)
• Distance entre les fentes et l'écran : \(D\)
• Hauteur de point d'observation \(M\) sur l'écran : \(x\)

La différence de marche \(\delta=d_2-d_1\) avec \(d_1\) et \(d_2\) les distances entre la source \(1\) et le point sur l'écran (respectivement pour la source \(2\)).
$$d_1=\sqrt{D^2+S_1M}=\sqrt{D^2+(x-\frac a2)^2}$$
$$d_2=\sqrt{D^2+S_2M}=\sqrt{D^2+(x+\frac a2)^2}$$
1i: Trouver l'expression des distances \(d_1\) et \(d_2\)
2: $$d_1\backsimeq D\left(1+\frac 12\frac{x^2-ax+\frac{a^2}{4} }{D^2}\right)$$
$$d_2\backsimeq D\left(1+\frac 12\frac{x^2+ax+\frac{a^2}{4} }{D^2}\right)$$
$$\delta = d_2-d_1\backsimeq \frac{ax}{D}$$
2i: Faire le développement linaire au premier ordre en sortant le \(D^2\) de la racine.
3:La différance de phase entre \(\phi_1=\phi_1^0+kd_1\) et \(\phi_1=\phi_2^0+kd_2\):
$$\phi_2-\phi_1=\phi_2^0-\phi_1^0+k\delta$$
Avec:

• \(\phi_i^0\): la phase à l'origine de la source \(i\)

4: L'expression de l'intensité devient alors:
$$I=I_1+I_2+2\sqrt{I_1I_2}\cos(\phi_2^0-\phi_1^0+k\frac{ax}{D})$$
END

Remarques

Observation avec détecteur lent

Pour observer un figure d'interférence avec un détecteur lent, il faut que dans l'expression de l'intensité:
$$I=I_1+I_2+2\sqrt{I_1I_2}\cos(\phi_2(t)-\phi_1(t))$$
$$\text{Condition:}\quad {{\phi_2(t)-\phi_1(t)=constante}}$$
Pour obtenir cette condition, on peut partir d'une même source comme dans l'expérience des fentes d'Young

Interférence à l'infini

Lorsqu'on regarde les interférence dans l'approximation d'une distance \(D\) entre les sources (séparé de \(a\)) et l'écran infini.
L'angle \(\epsilon\) entre les deux rayons au point \(M\) sur l'écran est à l'infini \(\cos(\alpha)=\frac{MH}{MS_1}\approx 1\)
La différence de marche:
$$\delta=\frac{S_2H}{a}\approx {{\alpha a}}$$

Remarque sur les fronts d'onde dans le plan focale d'une lentille

Grâce au Théorème de Malus, on peut dire que regarder à l'infini équivaut à se placer au plan focale image.

Interféromètre de Michelson

Définition d'un faisceau colimaté

Un faisceau colimaté est un faisceau que l'on considère comme étant une onde plane
mirror-parts-interferometer-Michelson-light-beam-angle.webp

Interférence à \(N\)-ondes

On prend \(N\) fentes séparées d'une distance \(a\). On observe cela à l'infini (ou dans la plan focale d'une lentille).
On considère que les \(N\) sources sont synchrones d'intensité \(E_0\).
$$\Delta \phi=k\alpha pa\implies \phi=k\alpha a$$
Avec: \(\alpha\) l'angle entre les rayons par rapport au rayon de la première fente
$$E=\sum_{p=0}^{N-1}E_0e^{ip\phi}e^{-i\omega t}=E_0e^{-i\omega t}\sum_0^{N-1}e^{ip\phi}$$
Suite géométrique:
$$=E_0e^{-i\omega t}\frac{1-e^{iN\phi} }{1-e^{i\phi} }$$
Calcule d'intensité:
$$I=|E|^2=|E_0|^2|e^{-i\omega t}|^2|\frac{1-e^{iN\phi} }{1-e^{i\phi} }|^2$$
$$=|\frac{e^{ iN\frac{\phi}{2} } }{e^{i\frac{\phi}{2} } }|^2|\frac{e^{-N\frac{\phi}{2} } - e^{iN\frac{\phi}{2} } } {e^{-i\frac \phi 2} - e^{i\frac \phi 2} }|^2$$
$$\left [\frac{\sin(N\frac \phi 2)}{\sin \frac \phi 2}\right]^2$$
Maxima à \(I_M\) obtenus pour \(\phi_M/2=p\pi\). On pose \(\phi =\phi_M+\epsilon\) car \(N\gt \gt \gt 1\).
On ne fait qu'ajouter \(p\phi\) à des sinus ce qui ne change que le signe. Comme nous sommes au carré,
$$I_M=\left[\frac{\sin(N\frac \epsilon 2)}{\sin \frac \epsilon 2}\right]^2$$
$$\approx N^2\left(\frac{\sin(\frac N2\epsilon)}{N\frac \epsilon 2}\right)^2=N^2\mathcal {sinc}^2(N\frac \epsilon 2)$$
On a donc:

• \(I_M=N^2\): l'amplitude maximale
• \(\frac N2{\Delta\epsilon}=\pi\implies \Delta \epsilon=\frac{2\pi}{N}\): la largeur du sinus cardinal

Interférence de Pérot-Fabry

On place deux miroirs face à face avec un coefficient de réflexion \(r\in \Bbb C\).
Par définition: \(E_r=rE_i\)
On s'intéresse ici à l'intensité: \(|E_r|^2=|r|^2|E_i|^2\)
On sait aussi que sur l'intensité: \(R+T=1\) avec \(T,R\) le module au carré des coefficients de transmission et de réflexion dans l'hypothèse où \(\phi_r=0\) et \(\phi_t=0\)
On se pose la question de l'intensité de la sortie des deux miroirs.

$$E_T=\underbrace{E_0t^2e^{e^{i\phi} } }_{\text{transmis sans réflexion au 2 miroirs} }+\underbrace{E_0t^2r^2e^{3i\phi} }_{\text{réflechis dans la cavité} }+...$$
$$E_T=\sum_{p=0}^{\infty}E_0t^2r^{2p}e^{ipourquoi[2L]}=\sum_{p=0}^{\infty}E_0t^2r^{2p}e^{ipourquoi2e}=$$
$$I_T=T^2|E_0|^2\left|\frac{1}{1-Re^{i2ke} }\right|^2$$
voir poly
On pose \(m=\frac{4R}{(1-R)^2}\) et \(\phi=ke\)
On a finalement:
$$I_T=\frac{I_0}{1+m\sin^2(\phi)}\quad \text{Fonction d'Airy}$$
Il est notable que:
$$I_{max}\iff \sin^2(\phi)=0$$
$$\phi=0[\pi]$$
$$\implies I_{max}=I_0$$
Cela implique que:
$$ke=p\pi\implies e=p\frac \lambda2$$
Par conséquent, la différence de marche entre chaque ondes est: \(\delta=2e\)
Si on s'intéresse au minimum d'intensité: \(\sin^2(\phi)=1\)
$$2e=p\lambda+\frac \lambda 2$$
Alors:$$I_{min}=\frac {I_0}{1+m}$$

Définition de l'intervalle spectrale libre

On parle d'intervalle spectrale libre \(ISL\) pour désigner l'intervalle entre deux pics d'intensité sur le spectre à la base de ces derniers.
$$\Delta\nu_{ISL}={{\frac c{2e} }}$$
Avec:

• \(c\): la célérité

Définition de la largeur à mi-hauteur

La largeur à mi-hauteur est, pour les phases:
$$\Delta \phi_{1/2}={{\frac{(1-R)}{2\sqrt R} }}$$

Définition de la finesse

La finesse définie la qualité de la finesse des pics d'intensité:
$${{\frac{\Delta \phi_{ISL} }{\Delta \phi_{1/2} } }}\approx{{\pi\frac{\sqrt R}{1-R} }}$$
Avec:

• \(\phi_{ISL}\): l'intervalle spectrale libre
• \(\phi_{1/2}\): l'intervalle spectrale à mi-hauteur
• \(R\): le coefficient de réflexion des miroirs

Allure de la figure d'intensité

schema elo
On cherche à étudier les caractéristiques de la figure, alors:

• Si \(1-R\lt \lt 1\), \(m\gt \gt 1\):

$$\sin^2(\phi_M+\epsilon)\approx \epsilon^2$$
$$I_{\frac 12}=\frac {I_0} 2=\frac{I_0}{1+m\epsilon^2}\qquad ;I_{\frac 12}\text{: La largeur à mi-hauteur}$$
$$\implies m\epsilon^2=1\implies \epsilon=\frac{1}{\sqrt m}$$